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El teorema de Pitágoras: Tipos de demostraciones

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El teorema de Pitágoras: Tipos de demostraciones

Ningún teorema matemático ha sido demostrado de modos tan diversos como el Teorema de Pitágoras. Bien puede decirse, por ello, que este teorema y la multitud de demostraciones del mismo que se han dado a lo largo de la historia, constituyen una prueba fehaciente de que hay muchos caminos para alcanzar la verdad.

En la Edad Media, a esta proposición se la consideraba la base de toda sólida formación matemática. En algunos centros docentes, además de exigir un profundo conocimiento del teorema para obtener el grado de maestro, se obligaba a crear una nueva demostración. Este hecho explica las innumerables demostraciones que los matemáticos y no matemáticos (Hobbes, Schopenhauer,…) de todas las épocas han encontrado del más famoso teorema de la geometría.

 

El teorema de Pitágoras se le ha llamado de muy diversas formas a lo largo de la historia. Los griegos lo llamaban teorema de la mujer casada, en la edad media se le apodó Magister matheseos y con mucha frecuencia se le ha conocido como la proposición I.47, atendiendo al lugar que ocupa en los Elementos de Euclides.

 

Como sabemos, no nos ha llegado ninguna obra propia de Pitágoras, pero autores como Plutarco, Diógenes Laercio, Ateneo y Proclo atribuyen el teorema de Pitágoras al propio Pitágoras. Pero el examen arqueológico realizado en nuestro siglo de las tablillas de arcilla encontradas en Mesopotamia, revelan que los antiguos babilonios conocían aspectos del teorema más de mil años antes que el propio Pitágoras. Sin embargo, parece que las referencias prehelénicas al teorema no contienen pruebas del mismo, siendo Pitágoras el primero en proporcionarnos una demostración lógica del teorema (por lo que parece justo que éste haya pasado a la historia con su nombre).

 

E. S. Loomis, profesor de matemáticas de la universidad de Baldwin (Estados Unidos) realizó durante muchos años una recopilación exhaustiva de las múltiples demostraciones de este teorema, publicando en 1927 la obra The Pythagorean Proposition donde se recogen 370 demostraciones distintas.

Loomis clasifica las pruebas en cuatro tipos:

·         Algebraicas: basadas en relaciones entre lados y segmentos.

·         Geométricas: basadas en comparaciones de áreas.

·         Dinámicas: basadas en los conceptos de masa, velocidad, fuerza, etc.

·         Cuaterniónicas: basadas en operaciones vectoriales

 

 

La demostración de Euclides: Proposición I.47

 

En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el ángulo opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo recto.

 

 

Prueba que el área del cuadrado NMBC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados ABPQ y CAED.
Para ello, trazamos por A una perpendicular a CB hasta que corte a NM en A´ y que divide al cuadrado NMBC en dos rectángulos A´MBA´´ y NA´A´´C. A continuación unimos A con M y C con P.
Los triángulos MBA y CBP son iguales pues tienen el mismo ángulo B = 90 + t e iguales los lados que lo determina (BP = AB y BM = BC)
Se verifica:

[Área triángulo MBA] = 1/2 MB.MA´ = 1/2 (MB.MA´) = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]

Por otra parte:

[Área triángulo CBP] = 1/2 BP.QP = 1/2 (BP.QP) = 1/2 [Área cuadrado BPQA]
Por tanto:

[Área triángulo MBA] = [Área triángulo BPC] = 1/2 [Área cuadrado BPQA] = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]

Es decir el cuadrado BPQA y el rectángulo A´MBA´´ son equivalentes. Análogamente demuestra que el rectángulo NA´A´´C es equivalente al cuadrado CAED.

 

 

Miércoles, 03 de Diciembre de 2008 11:38. A.j. #. Ciencia

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