El último teorema de Fermat

El enunciado del último Teorema de Fermat (1601-1665) quedó anotado en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría (150 A.C.) traducida al latín por Claude Gaspar Bachet (1581-1638) publicado en 1621. Este libro, con las numerosas notas marginales de Fermat, fue publicado en 1670 por su hijo Clemente Samuel. El enunciado del teorema dice que la ecuación  xⁿ +yⁿ = zⁿ no tiene soluciones enteras para n > 2. Fermat afirmaba que tenía una demostración, pero se exime de darla argumentado que el margen es demasiado estrecho como para dárnosla.

La aseveración de Fermat sobre una atractiva afirmación matemática significó, por siglos, uno de los más grandes enig­mas para los matemáticos. Tratando de “redescubrir” esa demostración del que ha sido conocido como el último teorema de Fermat, los matemáticos han recorrido muchos caminos, creando novedosas teo­rías, descubriendo nuevos teoremas, plan­teando interesantes conjeturas y, también, enfrentándose con grandes decepciones.

Menciona­remos a quienes contribuyeron de manera significativa a resolver el problema.

El propio Fermat, haciendo uso de un método descubierto por él mismo, llamado el método de descenso infinito, demostró que no existen ternas de números enteros distintos de cero x, y, z que satisfagan la ecuación para n = 4

Des­pués del logro del propio Fermat, la primera contribución digna de señalarse es la del gran matemático suizo Leonhard Euler, quien en 1747 dio una prueba (incompleta) del caso n = 3.

Más de 75 años después, Gustav Lejeune-Dirichlet y Adrien-Marie Legendre produjeron sendas pruebas del último teorema en el caso n = 5, basadas en un poderoso método de Sophie Germain.

El servicio más grande prestado a las matemáticas por el último teorema de Fermat ha sido, sin duda, su motivación para la creación de la teoría de los números algebraicos, por Ernst Eduard Kummer en sus intentos por probarlo. Ésta es ahora una rama de las matemáticas que tiene un fuerte impacto.

 

Pero fue una conjetura, debida a dos matemáticos japoneses, Yu­taka Taniyama y Goro Shimura, la que dio la pauta a Wiles. Esta conjetura, vincula dos complicados conceptos de la matemática: las ecuacio­nes elípticas, que son ecuaciones cuyas variables toman valores en los números reales, y las formas modulares, que, dicho vagamente, son funciones cuyas variables toman valores en los números complejos y describen formas de alto grado de simetría. La conjetura de Taniyama-Shimura afirma que a cada forma modular se le puede asociar una ecuación elíptica; relaciona dos formas distintas del pensamiento matemático.

En el otoño de 1984, en el Instituto Matemático de un pueblito de la Selva Negra, Oberwolfach, donde semanalmente se reunían  matemáticos a discutir, en una sesión dedicada a la teoría de los núme­ros, el alemán Gerhard Frey demostró, transformando la ecuación de Fermat en una ecuación elíptica, que si el último teorema de Fer­mat fuese falso, entonces la conjetura de Taniyama-Shimura también lo sería. Así, estableció el puente entre ambos proble­mas. Restaba, pues, demostrar la conjetura de los nipones, para resolver el enigma del milenio.­

 

A lo largo de años de trabajo dedicado casi exclusivamente al último teorema de Fermat, Wiles conoció la conjetura de Taniyama-Shimura, a través de su maestro, el profesor australiano John Coates, mientras estudiaba el doctorado en Cambrid­ge, Inglaterra. Supo que para probar el último teorema de Fermat, tenía que demostrar la conje­tura de Taniyama-Shimura, es decir, que toda ecuación elíptica tiene que estar asociada a una forma modular.

El trabajo sistemático y, sin duda, su genialidad, condujeron a Wiles, después de siete años de solitarios esfuerzos, a demostrar la conjetura de Taniyama-Shi­mura. Relata: “En mayo de 1993, estaba convencido de tener en mis manos el último teorema de Fermat; aún quería ase­gurarme de que la demostración estuviera correcta, pero se acercaba una conferencia a finales de junio en Cambridge. Pensé que sería un bello lugar para anunciar mi prue­ba: la ciudad donde viví y fui estudiante de doctorado.” Presentó en el Instituto Isaac Newton, en el taller de teoría de los números, una serie de tres conferencias titulada “Formas modulares, curvas elíp­ticas y representaciones de Galois”, ante expertos de todo el mundo. Al terminar la última conferencia, Wiles escribió el enunciado del último teorema de Fermat y dijo: “Creo que aquí terminamos”... Hubo un prolongado aplauso.

Wiles había probado un caso especial de la conjetura de Taniyama-Shimura, suficiente para obtener el último teorema de Fermat.

 

Poco después se detectó un error en la demostración que les tomó más de un año en corregir. Finalmente, publicaron el resul­tado definitivo en un artículo que con el primero de Wiles sumaba 130 páginas de matemáticas de primera línea, y apareció en una de las más prestigiadas revistas matemáticas, Annals of Mathematics, en mayo de 1995.

 

El más importante galardón al que puede aspirar un matemático es la Me­dalla Fields, que a diferencia del Premio Nobel, se entrega cada cuatro años y a matemáticos menores de 40 años que ha­yan alcanzado logros extraordinarios en la materia. La fecha límite para que Wiles lo obtuviera era el Congreso Internacional de Matemáticos realizado en Zurich, Suiza, en 1994, cuando aún no cumplía los 40, pero tampoco tenía la prueba completa.

En el Congreso de Berlín, de 1998, la prueba ya estaba terminada, pero Wiles rebasaba los 40.