Redes: La vida privada del cerebro
Programa de Redes emitido esta semana. Se trata de una reposición.
Ahí va:
Ciencia
Redes para la ciencia
Hola! Me gustaría compartir con vosotros la pagina web de Redes para la ciencia, donde podeis encontrar los capitulos para poder verlos "online" del mejor programa de divulgación cientifica que se ha hecho jamás en españa (y el unico, creo). Sé que Eduardo Punset crea en algunas personas rechazo, y la verdad es que tampoco se muy bien como es personalmente, pero creo que es indiscutible la labor que hace con este programa para ofrecernos información de calidad respecto a la ciencia.
http://www.redesparalaciencia.com/
Os dejo el enlace para que los disfruteis. Saludos!
El último teorema de Fermat
El enunciado del último Teorema de Fermat (1601-1665) quedó anotado en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría (150 A.C.) traducida al latín por Claude Gaspar Bachet (1581-1638) publicado en 1621. Este libro, con las numerosas notas marginales de Fermat, fue publicado en 1670 por su hijo Clemente Samuel. El enunciado del teorema dice que la ecuación xn +yn = zn no tiene soluciones enteras para n > 2. Fermat afirmaba que tenía una demostración, pero se exime de darla argumentado que el margen es demasiado estrecho como para dárnosla.
La aseveración de Fermat sobre una atractiva afirmación matemática significó, por siglos, uno de los más grandes enigmas para los matemáticos. Tratando de “redescubrir” esa demostración del que ha sido conocido como el último teorema de Fermat, los matemáticos han recorrido muchos caminos, creando novedosas teorías, descubriendo nuevos teoremas, planteando interesantes conjeturas y, también, enfrentándose con grandes decepciones.
Mencionaremos a quienes contribuyeron de manera significativa a resolver el problema.
El propio Fermat, haciendo uso de un método descubierto por él mismo, llamado el método de descenso infinito, demostró que no existen ternas de números enteros distintos de cero x, y, z que satisfagan la ecuación para n = 4
Después del logro del propio Fermat, la primera contribución digna de señalarse es la del gran matemático suizo Leonhard Euler, quien en 1747 dio una prueba (incompleta) del caso n = 3.
Más de 75 años después, Gustav Lejeune-Dirichlet y Adrien-Marie Legendre produjeron sendas pruebas del último teorema en el caso n = 5, basadas en un poderoso método de Sophie Germain.
El servicio más grande prestado a las matemáticas por el último teorema de Fermat ha sido, sin duda, su motivación para la creación de la teoría de los números algebraicos, por Ernst Eduard Kummer en sus intentos por probarlo. Ésta es ahora una rama de las matemáticas que tiene un fuerte impacto.
Pero fue una conjetura, debida a dos matemáticos japoneses, Yutaka Taniyama y Goro Shimura, la que dio la pauta a Wiles. Esta conjetura, vincula dos complicados conceptos de la matemática: las ecuaciones elípticas, que son ecuaciones cuyas variables toman valores en los números reales, y las formas modulares, que, dicho vagamente, son funciones cuyas variables toman valores en los números complejos y describen formas de alto grado de simetría. La conjetura de Taniyama-Shimura afirma que a cada forma modular se le puede asociar una ecuación elíptica; relaciona dos formas distintas del pensamiento matemático.
En el otoño de 1984, en el Instituto Matemático de un pueblito de la Selva Negra, Oberwolfach, donde semanalmente se reunían matemáticos a discutir, en una sesión dedicada a la teoría de los números, el alemán Gerhard Frey demostró, transformando la ecuación de Fermat en una ecuación elíptica, que si el último teorema de Fermat fuese falso, entonces la conjetura de Taniyama-Shimura también lo sería. Así, estableció el puente entre ambos problemas. Restaba, pues, demostrar la conjetura de los nipones, para resolver el enigma del milenio.
A lo largo de años de trabajo dedicado casi exclusivamente al último teorema de Fermat, Wiles conoció la conjetura de Taniyama-Shimura, a través de su maestro, el profesor australiano John Coates, mientras estudiaba el doctorado en Cambridge, Inglaterra. Supo que para probar el último teorema de Fermat, tenía que demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura, es decir, que toda ecuación elíptica tiene que estar asociada a una forma modular.
El trabajo sistemático y, sin duda, su genialidad, condujeron a Wiles, después de siete años de solitarios esfuerzos, a demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura. Relata: “En mayo de 1993, estaba convencido de tener en mis manos el último teorema de Fermat; aún quería asegurarme de que la demostración estuviera correcta, pero se acercaba una conferencia a finales de junio en Cambridge. Pensé que sería un bello lugar para anunciar mi prueba: la ciudad donde viví y fui estudiante de doctorado.” Presentó en el Instituto Isaac Newton, en el taller de teoría de los números, una serie de tres conferencias titulada “Formas modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois”, ante expertos de todo el mundo. Al terminar la última conferencia, Wiles escribió el enunciado del último teorema de Fermat y dijo: “Creo que aquí terminamos”... Hubo un prolongado aplauso.
Wiles había probado un caso especial de la conjetura de Taniyama-Shimura, suficiente para obtener el último teorema de Fermat.
Poco después se detectó un error en la demostración que les tomó más de un año en corregir. Finalmente, publicaron el resultado definitivo en un artículo que con el primero de Wiles sumaba 130 páginas de matemáticas de primera línea, y apareció en una de las más prestigiadas revistas matemáticas, Annals of Mathematics, en mayo de 1995.
El más importante galardón al que puede aspirar un matemático es la Medalla Fields, que a diferencia del Premio Nobel, se entrega cada cuatro años y a matemáticos menores de 40 años que hayan alcanzado logros extraordinarios en la materia. La fecha límite para que Wiles lo obtuviera era el Congreso Internacional de Matemáticos realizado en Zurich, Suiza, en 1994, cuando aún no cumplía los 40, pero tampoco tenía la prueba completa.
En el Congreso de Berlín, de 1998, la prueba ya estaba terminada, pero Wiles rebasaba los 40.
El descubrimiento del Método de Arquímedes
La verdadera historia del manuscrito que podría haber cambiado el rumbo de la ciencia
Un palimpsesto es un manuscrito cuyo contenido ha sido borrado para ser reutilizado y sobrescribir sobre él un nuevo texto; el más conocido es el de Arquímedes.
Se trata de un libro que fue escrito en el siglo XIII por un monje escribano llamado Juan Myronas y que en lugar de usar pergaminos nuevos empleó las páginas de cinco libros para escribir oraciones y bendiciones sobre ellos, previo raspado y borrado de los antiguos textos (eliminaron la tinta empleando zumo de naranja). A principios del siglo XX se descubriría que uno de los cinco libros reciclados se trataba de un trabajo único de Arquímedes. El filólogo danés Johan Ludvig Heiberg dio con él en 1906 trabajando en el Metokión, junto al Santo Sepulcro, en el barrio griego de Constantinopla.
Se pudieron conocer así las únicas copias conocidas de dos de sus obras: Cuerpos flotantes y Método de los teoremas de mecánica.
El manuscrito con los textos de Arquímedes fue probablemente copiado a finales del siglo X en Constantinopla y constaba de 94 folios.
La tecnología actual ha permitido descubrir nuevos textos en el palimpsesto de Arquímedes. En 2002 se descubrió, con nuevas técnicas de tratamiento de imágenes, que en el palimpsesto también se albergaba el único manuscrito conocido de Hipérides, político ateniense del siglo IV antes de Cristo. En 2007, salta la noticia de que se ha conseguido encontrar un tercer texto en griego y que se trata de un comentario sobre las categorías del filósofo Aristóteles, que son la base del estudio de la lógica en la civilización occidental. Todo parece indicar que el autor de este comentario sea obra de Alejandro de Afrodisias, el más importante comentarista antiguo de Aristóteles.
El Método, tal como ha llegado hasta nosotros, contiene la mayor parte del texto de unas quince proposiciones enviadas a Eratóstenes, matemático y bibliotecario de la Universidad de Alejandría, en forma de carta.
Lo que Arquímedes hizo en este tratado fue, en primer lugar, combinar la matemática pura y las consideraciones de orden físico: al colocar segmentos de objetos geométricos sobre una báscula consiguió calcular el área y el volumen de los objetos. A continuación, realizó sumas infinitas. Por ejemplo, tomó una esfera y calculó su volumen como la suma infinita de los círculos de los que está compuesta. Éste fue el logro de Arquímedes, comparable al cálculo integral moderno de Newton. Según dijo Netz, "La ciencia moderna se basa en el descubrimiento de que las matemáticas y la física van de la mano y que su herramienta primordial es el cálculo diferencial e integral, que versa sobre las sumas y divisiones infinitas. Puede afirmarse sin duda alguna que El método estaba 2.000 años por delante de su tiempo".
Muchos de los resultados logrados por Arquímedes: áreas, volúmenes, centros de gravedad, se obtienen hoy mediante los recursos del cálculo integral, pero los matemáticos griego empleaban el método de exhaución de Eudoxo. Este método no es de descubrimiento, sino que es un método de demostración y por tanto exige conocer de antemano el resultado a demostrar.
Los matemáticos occidentales, cuando en el siglo XVI comenzaron a conocer los escritos de Arquímedes, aseguraban que éste disponía de un método especial para lograr sus resultados, método que había mantenido en secreto. Con el paso del tiempo se demostró que Arquímedes sí había ideado un método con ese objeto, pero no lo mantuvo en secreto sino que el azar hizo que esta incógnita no se desvelara hasta pasados dos milenios.
El teorema de Pitágoras: Tipos de demostraciones
El teorema de Pitágoras: Tipos de demostraciones
Ningún teorema matemático ha sido demostrado de modos tan diversos como el Teorema de Pitágoras. Bien puede decirse, por ello, que este teorema y la multitud de demostraciones del mismo que se han dado a lo largo de la historia, constituyen una prueba fehaciente de que hay muchos caminos para alcanzar la verdad.
En la Edad Media, a esta proposición se la consideraba la base de toda sólida formación matemática. En algunos centros docentes, además de exigir un profundo conocimiento del teorema para obtener el grado de maestro, se obligaba a crear una nueva demostración. Este hecho explica las innumerables demostraciones que los matemáticos y no matemáticos (Hobbes, Schopenhauer,…) de todas las épocas han encontrado del más famoso teorema de la geometría.
El teorema de Pitágoras se le ha llamado de muy diversas formas a lo largo de la historia. Los griegos lo llamaban teorema de la mujer casada, en la edad media se le apodó Magister matheseos y con mucha frecuencia se le ha conocido como la proposición I.47, atendiendo al lugar que ocupa en los Elementos de Euclides.
Como sabemos, no nos ha llegado ninguna obra propia de Pitágoras, pero autores como Plutarco, Diógenes Laercio, Ateneo y Proclo atribuyen el teorema de Pitágoras al propio Pitágoras. Pero el examen arqueológico realizado en nuestro siglo de las tablillas de arcilla encontradas en Mesopotamia, revelan que los antiguos babilonios conocían aspectos del teorema más de mil años antes que el propio Pitágoras. Sin embargo, parece que las referencias prehelénicas al teorema no contienen pruebas del mismo, siendo Pitágoras el primero en proporcionarnos una demostración lógica del teorema (por lo que parece justo que éste haya pasado a la historia con su nombre).
E. S. Loomis, profesor de matemáticas de la universidad de Baldwin (Estados Unidos) realizó durante muchos años una recopilación exhaustiva de las múltiples demostraciones de este teorema, publicando en 1927 la obra The Pythagorean Proposition donde se recogen 370 demostraciones distintas.
Loomis clasifica las pruebas en cuatro tipos:
· Algebraicas: basadas en relaciones entre lados y segmentos.
· Geométricas: basadas en comparaciones de áreas.
· Dinámicas: basadas en los conceptos de masa, velocidad, fuerza, etc.
· Cuaterniónicas: basadas en operaciones vectoriales
La demostración de Euclides: Proposición I.47
En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el ángulo opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo recto.
Prueba que el área del cuadrado NMBC es igual a la suma de las áreas de los cuadrados ABPQ y CAED.
Para ello, trazamos por A una perpendicular a CB hasta que corte a NM en A´ y que divide al cuadrado NMBC en dos rectángulos A´MBA´´ y NA´A´´C. A continuación unimos A con M y C con P.
Los triángulos MBA y CBP son iguales pues tienen el mismo ángulo B = 90 + t e iguales los lados que lo determina (BP = AB y BM = BC)
Se verifica:
[Área triángulo MBA] = 1/2 MB.MA´ = 1/2 (MB.MA´) = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]
Por otra parte:
[Área triángulo CBP] = 1/2 BP.QP = 1/2 (BP.QP) = 1/2 [Área cuadrado BPQA]
Por tanto:
[Área triángulo MBA] = [Área triángulo BPC] = 1/2 [Área cuadrado BPQA] = 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]
Es decir el cuadrado BPQA y el rectángulo A´MBA´´ son equivalentes. Análogamente demuestra que el rectángulo NA´A´´C es equivalente al cuadrado CAED.
Egipto & Mesopotamia
Vamos a llevar a cabo un recorrido comparativo entre dos grandes civilizaciones, la egipcia y la sumeria, las cuales se limitaron a una matemática básica fundamentada en las cuestiones prácticas de la sociedad de la época.
Procedente de la cultura egipcia, poco material ha conseguido sobrevivir al desgaste de los siglos. Principalmente son dos las fuentes de las que disponemos para acercarnos a la matemática egipcia: el Papiro Rhind (alrededor del año 1650 a.C.) que contiene 87 problemas con sus soluciones y el Papiro de Moscú (alrededor del año 1850 a.C.) que consta de 25 problemas.
El sistema de escritura egipcio comprende tres tipos básicos: jeroglífico, hierático y demótica.
Por el contrario, de la matemática babilónica nos ha llegado gran cantidad de material (más de medio millón de tablillas), en el que es usado un sistema de escritura cuneiforme. Las tablillas de arcilla cocida han resultado resistir mejor que los papiros el paso del tiempo.
Las matemáticas egipcias eran básicamente aritmética, con algunos elementos de geometría y algo de álgebra; mientras que el punto fuerte de las matemáticas sumerias fue su álgebra.
El sistema de numeración egipcio consiste en un sistema aditivo no posicional de base 10, en el que contaban con diferentes símbolos para representar las potencias de 10.
Mientras que la matemática sumeria ideó el primer sistema posicional de la historia. Contaban con un sistema mixto de bases 10 y 60 (aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores).
El secreto de la superioridad de la aritmética y el álgebra mesopotámica sobre la egipcia (la cual se limitaba a considerar únicamente fracciones unitarias) se debe a que los babilonios tuvieron la idea de extender el principio posicional a las fracciones y no sólo a los números enteros. Esto significa que los babilonios tenían a su disposición toda la capacidad y simplicidad de cálculo que nos permiten hoy las fracciones decimales modernas (este sistema de notación fraccionaria no fue superado hasta la época del renacimiento). Además, para el desarrollo del cálculo, los babilonios inventaron diferentes métodos algorítmicos, como por ejemplo el del cálculo de la raíz cuadrada.
Referente al álgebra, los egipcios se habían centrado casi exclusivamente en las ecuaciones lineales, pero los babilonios las consideraron demasiado elementales, por lo que prestaron mayor atención a las ecuaciones cuadráticas y a las cúbicas.
En el campo de la geometría, hay problemas que manifiestan que los egipcios conocían las áreas del rectángulo, triángulo y círculo; pero quizás el problema geométrico más complejo abordado por los egipcios es el cálculo del volumen de una pirámide truncada. El papiro Moscú incluye dicho cálculo exponiendo una serie de reglas sucesivas que coinciden básicamente con las realizadas actualmente, nada elementales para aquella época.
Respecto a la geometría sumeria sabemos que conocían fórmulas para las áreas y perímetros de figuras como rectángulos, triángulos, trapecios, incluso los polígonos regulares de 5, 6 y 7 lados. Además hay varios problemas en las tablillas babilónicas cuya resolución exige el conocimiento del Teorema de Pitágoras.
En conclusión y en contra de lo que pudiera parecer por sus majestuosas construcciones, comparada con el contenido de las tablillas de los babilonios, la matemática de los egipcios resulta de un nivel muy inferior.